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Bachelorarbeit: Enden in nicht lokal endlichen Graphen |
Dokument-Nr.: F-AA2H |
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Inhalt / Beschreibung
Inhaltsverzeichnis: 0. Grundlegende Begriffe 1. Enden in Graphen 2. Topologische Enden 3. Enden von Graphen als 1-Komplexe Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich in erster Linie mit zwei Definitionen von Enden: Die graphentheoretische Definition und die topologische Definition. In lokal endlichen Graphen stimmen beide Definitionen überein, in nicht lokal endlichen Graphen gibt es jedoch Unterschiede. Ziel dieser Bachelorarbeit ist es, eine möglichst weitgehende Übereinstimmung zwischen den Definitionen zu erzeugen und Eigenschaften beider Definitionen zu vergleichen. Note: 2,7. _____________________________________ Einleitung 1931 führte Hans Freudenthal den Begriff der Enden von bestimmten topologischen Räumen X als Punkte in der Unendlichkeit zur Kompaktifizierung von Räumen ein. Diese Enden sind als Sequenzen U1 ⊇ U2 ⊇ von zusammenhängenden offenen Mengen mit kompaktem Rand definiert, so dass Ti Ui =∅. Rudolf Halin definierte unabhängig davon 1964 Enden von unendlichen Graphen [9]. Diese werden, anders als bei Freudenthal, als Äquivalenzklassen von einseitig unendlichen Pfaden eines Graphen betrachtet. Für lokal endliche Graphen gibt es eine Bijektion zwischen beiden Definitionen, sie stimmen also überein. Betrachtet man jedoch Graphen mit Ecken von unendlichem Grad, so geht dieser direkte Zusammenhang verloren. Diestel und Kühn fanden in ihren Arbeiten, dass sich bestimmte Enden in einem gewissen Sinne „besser“ verhalten als andere. Bei näherer Untersuchung stellte sich heraus, dass dies gerade die topologischen Enden eines Graphen sind, wie sie von Freudenthal definiert wurden. Diese „besseren“ Eigenschaften zeigt sich beispielsweise darin, dass bei nicht lokal endlichen Graphen ein Problem mit der Kompaktifizierung von Eckenmengen besteht. Wie später gezeigt wird, können Mengen im betrachteten topologischen Raum nicht kompakt sein, falls sie eine Ecke von unendlichem Grad enthalten. Kompaktheit wird jedoch für die Existenz von topologischen Enden benötigt, wie man ebenfalls weiter unten sehen wird. Des weiteren unterscheiden sich für nicht lokal endliche Graphen die Enden und die sogenannten Kantenenden, was bei lokal endlichen Graphen nicht der Fall ist. Die vorliegende Arbeit basiert auf der Untersuchung von Diestel und Kühn und soll die Lücke zwischen den beiden genannten Definitionen überbrücken, indem zum einen gezeigt wird, dass es im Falle eines nicht lokal endlichen Graphen eine Korrespondenz der topologischen Enden mit den nicht dominierten graphentheoretischen Enden des Graphen gibt. Zum anderen soll gezeigt werden, dass eine Übereinstimmung zwischen den Richtungen fw von graphentheoretischen Enden w und den Richtungen fe der topologischen Enden e besteht, und zwar in dem Sinne, dass w |-> fw eine Bijektion und e |-> fe eine Injektion ist, so dass die Komposition von e |-> we und w |-> fw kommutiert. (Ausgabe der mathematischen Zeichen erfolgt im Original-Dokument, das mit LaTex erstellt wurde, vgl. Dokument-Vorschau). |
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Vorschau-Ausschnitte
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